Handbook of Differential Equations 3rd ed., KSIĄŻKI Matematyka
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Handbook of Di®erential Equations
3rd edition
Daniel Zwillinger
Academic Press, 1997
Contents
Preface
Introduction
Introduction to the Electronic Version
How to Use This Book
I.A De¯nitions and Concepts
1 De¯nition of Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Alternative Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Bifurcation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 A Caveat for Partial Di®erential Equations . . . . . . . . . . . . 27
5 Chaos in Dynamical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 Classi¯cation of Partial Di®erential Equations . . . . . . . . . . . 36
7 Compatible Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8 Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9 Di®erential Resultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
10 Existence and Uniqueness Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . 53
11 Fixed Point Existence Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
12 Hamilton-Jacobi Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
13 Integrability of Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
14 Internet Resources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
15 Inverse Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
16 Limit Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
17 Natural Boundary Conditions for a PDE . . . . . . . . . . . . . . 83
18 Normal Forms: Near-Identity Transformations . . . . . . . . . . 86
19 Random Di®erential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
20 Self-Adjoint Eigenfunction Problems . . . . . . . . . . . . . . . . 95
21 Stability Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
22 Sturm-Liouville Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
23 Variational Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
24 Well Posed Di®erential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
25 Wronskians and Fundamental Solutions . . . . . . . . . . . . . . 119
26 Zeros of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
I.B Transformations
27 Canonical Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
28 Canonical Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
29 Darboux Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
30 An Involutory Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
31 Liouville Transformation - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
32 Liouville Transformation - 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
33 Reduction of Linear ODEs to a First Order System . . . . . . . . 146
34 Prufer Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
35 Modi¯ed Prufer Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
36 Transformations of Second Order Linear ODEs - 1 . . . . . . . . 152
37 Transformations of Second Order Linear ODEs - 2 . . . . . . . . 157
38 Transformation of an ODE to an Integral Equation . . . . . . . . 159
39 Miscellaneous ODE Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . 162
40 Reduction of PDEs to a First Order System . . . . . . . . . . . . 166
41 Transforming Partial Di®erential Equations . . . . . . . . . . . . 168
42 Transformations of Partial Di®erential Equations . . . . . . . . . 173
II Exact Analytical Methods
43 Introduction to Exact Analytical Methods . . . . . . . . . . . . . 178
44 Look-Up Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
45 Look-Up ODE Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
II.A Exact Methods for ODEs
46 An Nth Order Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
47 Use of the Adjoint Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
48 Autonomous Equations - Independent Variable Missing . . . . . 230
49 Bernoulli Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
50 Clairaut's Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
51 Computer-Aided Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
52 Constant Coe±cient Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . 247
53 Contact Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
54 Delay Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
55 Dependent Variable Missing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
56 Di®erentiation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
57 Di®erential Equations with Discontinuities . . . . . . . . . . . . . 264
58 Eigenfunction Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
59 Equidimensional-in-x Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
60 Equidimensional-in-y Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
61 Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
62 Exact First Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
63 Exact Second Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
64 Exact Nth Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
65 Factoring Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
66 Factoring Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
67 Factorization Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
68 Fokker-Planck Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
69 Fractional Di®erential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
70 Free Boundary Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
71 Generating Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
72 Green's Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
73 Homogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
74 Method of Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
75 Integrable Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
76 Integral Representation: Laplace's Method . . . . . . . . . . . . . 336
77 Integral Transforms: Finite Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . 342
78 Integral Transforms: In¯nite Intervals . . . . . . . . . . . . . . . 347
79 Integrating Factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
80 Interchanging Dependent and Independent Variables . . . . . . . 360
81 Lagrange's Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
82 Lie Groups: ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
83 Operational Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
84 Pfa±an Di®erential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
85 Reduction of Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
86 Riccati Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
87 Matrix Riccati Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
88 Scale Invariant Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
89 Separable Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
90 Series Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
91 Equations Solvable for x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
92 Equations Solvable for y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
93 Superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
94 Method of Undetermined Coe±cients . . . . . . . . . . . . . . . . 415
95 Variation of Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
96 Vector Ordinary Di®erential Equations . . . . . . . . . . . . . . . 421
II.B Exact Methods for PDEs
97 Backlund Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
98 Method of Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
99 Characteristic Strip Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
100 Conformal Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
101 Method of Descent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
102 Diagonalization of a Linear System of PDEs . . . . . . . . . . . . 449
103 Duhamel's Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
104 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
105 Hodograph Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
106 Inverse Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
107 Jacobi's Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
108 Legendre Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
109 Lie Groups: PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
110 Poisson Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
111 Riemann's Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
112 Separation of Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
113 Separable Equations: Stackel Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 494
114 Similarity Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
115 Exact Solutions to the Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . 501
116 Wiener-Hopf Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
III Approximate Analytical Methods
117 Introduction to Approximate Analysis . . . . . . . . . . . . . . . 510
118 Chaplygin's Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
119 Collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
120 Dominant Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
121 Equation Splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
122 Floquet Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
123 Graphical Analysis: The Phase Plane . . . . . . . . . . . . . . . 526
124 Graphical Analysis: The Tangent Field . . . . . . . . . . . . . . . 532
125 Harmonic Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
126 Homogenization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
127 Integral Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
128 Interval Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
129 Least Squares Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
130 Lyapunov Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
131 Equivalent Linearization and Nonlinearization . . . . . . . . . . . 555
132 Maximum Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
133 McGarvey Iteration Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
134 Moment Equations: Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
135 Moment Equations: Ito Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
136 Monge's Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
137 Newton's Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
138 Pade Approximants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
139 Perturbation Method: Method of Averaging . . . . . . . . . . . . 586
140 Perturbation Method: Boundary Layer Method . . . . . . . . . . 590
141 Perturbation Method: Functional Iteration . . . . . . . . . . . . 598
142 Perturbation Method: Multiple Scales . . . . . . . . . . . . . . . 605
143 Perturbation Method: Regular Perturbation . . . . . . . . . . . . 610
144 Perturbation Method: Strained Coordinates . . . . . . . . . . . . 614
145 Picard Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
146 Reversion Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
147 Singular Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
148 Soliton-Type Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626
149 Stochastic Limit Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
150 Taylor Series Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
151 Variational Method: Eigenvalue Approximation . . . . . . . . . . 635
152 Variational Method: Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . 638
153 WKB Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
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