Hazard, Artykuły i ebooki
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Ruletka, Black Jack, zakłady bukmacherskie – hazard widziany oczami
matematyka.
Matematyczna teoria informacji zastosowana do optymalnego zarządzania
kapitałem w grach losowych.
Autor: Piotr Wołowik (e-mail: piotrw@et.put.poznan.pl) – jest doktorantem w Instytucie Elektroniki i
Telekomunikacji Politechniki Poznańskiej.
Popularność hazardu
Hazard był dziedziną, która od zawsze towarzyszyła rozwojowi ludzkiej cywilizacji. Ślady hazardu w postaci
wykopalisk archeologicznych znajdowano już w starożytnym Babilonie i ruinach budowli Cesarstwa Rzymskiego.
Wiele źródeł historycznych również donosi o hazardzie jako sposobie rozrywki lub metodach rozstrzygania sporów.
O ile hazard może być pewnego rodzaju zabawą – to w przypadku, gdy w grę wchodzą duże pieniądze, może stać
się źródłem wielu nieszczęść, a przed wszystkim uzależnienia psychicznego. Uzależnienie takie, podobnie jak
alkoholizm czy narkomania, potrafi doprowadzić człowieka do ruiny zarówno zdrowotnej jak i finansowej.
W Polsce współcześnie, hazard jest prawnie zalegalizowany. Istnieją kasyna i salony gier (najczęściej w hotelach),
gdzie każdy pełnoletni obywatel może spędzić rozrywkowo czas grając w takie popularne gry jak: ruletka, Black Jack,
poker itp.
Z hazardem mamy również do czynienia w przypadku popularnych sportowych zakładów bukmacherskich – tyle tylko,
że w tym przypadku nie zdajemy się całkowicie na los szczęścia - ale liczymy na swoje trafne szacowanie umiejętności
sportowych graczy.
Kasyna nie są instytucjami charytatywnymi i jak każde formy działalności gospodarczej nastawione są na
zysk. Stąd nie powinno dziwić nawet laika, że gry w nich oferowane, z matematycznego punktu widzenia są tak
skonstruowane, aby stanowić dla kasyna źródło dochodu, nigdy straty.
Sposobem, w jaki kasyno najefektywniej zarabia jest duży obrót pieniędzmi graczy – stąd im więcej ludzi odwiedza
salony gier tym interes lepszy. Część graczy grająca w daną grę wygrywa pewne kwoty pieniężne, część pewne kwoty
przegrywa. Pieniądze z tych przegrywających „przepływają” do wygrywających, ale pewna ich cześć pozostaje w kasie
kasyna. Część ta, zależy od rodzaju gry i stanowi pewien procent od przepływającego kapitału. W terminologii gier
funkcjonuje to pod pojęciem
przewagi kasyna
(ang. house advantage).
Matematycznie gry są tak skonstruowane, że przewaga kasyna zawsze istnieje. Tyle tylko, że pewne gry są bardziej
„zachłanne” niż inne – tzn. większy procent od przepływającego kapitału trafia do kasy kasyna. Statystycznie rzecz
ujmując grając w tak zaprojektowane gry, w długofalowej perspektywie, po zbilansowaniu naszych wygranych i
przegranych, zawsze będziemy „do tyłu”. I nie mają tutaj znaczenia żadne tzw. „systemy gier” – rachunek
prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna stoją jawnie w sprzeczności z ich „cudownym przesłaniem”.
Jedynym wyjątkiem spośród wszystkich gier hazardowych jest słynny Black Jack. Tutaj grając odpowiednim systemem
mnemoniczno-matematycznym (systemy takie można znaleźć w Internecie oraz różnej tematycznej literaturze [1,2,3]),
my mamy statystyczną przewagę nad kasynem. Jest ona nieznaczna, a jej wysokość uzależniona jest od ilości
dostępnych talii kart w grze. Oznacza to, że grając takimi systemami, oprócz „dobrej zabawy”, możemy zwiększyć
swój kapitał początkowy netto o kilka procent.
No dobrze - ale spyta ktoś – skoro istnieją systemy, to dlaczego kasyno promuję tą grę, mogąc w niej stracić?
Rzecz w tym, że systemy te wymagają odpowiednio wyćwiczonej pamięci. Przy stole do gry, pod żadnym pozorem, nie
wolno robić notatek. Dobra pamięć wymaga zapamiętywania schodzących z talii kart i na ich podstawie podejmowania
decyzji odnośnie aktualnych i przyszłych kwot obstawiania.
Film, w którym przedstawiono graczy grających tą techniką był legendarny „
Rain Man
” ze znakomitą rolą Dustina
Hoffmana. Tyle tylko, że główny bohater był człowiekiem autystycznym. Ludzie z cechami autystycznymi cechują się
w pewnych przypadkach niezwykłymi zdolnościami matematycznymi lub pamięciowymi. Zdolności te właśnie
zapewniły głównym bohaterom filmu „szczęście” w grze w Las Vegas.
Wartość oczekiwana gry
Każda gra losowa z określoną wypłatą posiada dla gracza swoją wartość oczekiwaną. Wartość ta, w przypadku
rozgrywania danej gry nieskończoną ilość razy, charakteryzuje jego średni zysk przypadający na pojedynczą grę (bilans
zysków i strat podzielony przez ilość rozegranych partii).
Matematyczny wzór ją definiujący wyraża formuła:
E
[] [ ]
( )
[ ]
=
p
×
zysk
+
1
−
p
×
strata
p – określa prawdopodobieństwo osiągnięcia sukcesu w grze (a tym samym określonego zysku), wartość (1-p) –
odpowiednio prawdopodobieństwo porażki i straty obstawienia.
1
X
Zobaczmy jak to wygląda w przypadku gry polegającej na pojedynczym rzucie sześcienną kostką. Gracz stawia pewną
kwotę na określony wynik. Jeżeli trafi to dostaje od kasyna wypłatę „k” razy zwielokrotnioną względem tego co
postawił, a jeżeli nie - traci swój zakład. Jaką wartość musi przyjąć „k” aby gra była sprawiedliwa dla obu stron?
Prawdopodobieństwo trafienia obstawionej ścianki wynosi 1/6, zaś pozostałych ścianek – jest ich pięć - czyli 5/6.
Wartość oczekiwana gry dla gracza:
E
[] [
=
1
×
k
×
(
stawka
zakadu
)
]
()
5
×
[
−
1
×
(
stawka
zakladu)
]
6
6
Aby gra była sprawiedliwa, wartość oczekiwana powinna wynosić zero (nikt nic nie zyskuje czyimś kosztem). W takim
przypadku wartość wypłaty „k” powinna wynosić 5 (tj. np. 5 złotych za każdą jedną postawioną złotówkę).
Jeżeli kasyno ustaliłoby wypłatę „k” na poziomie np. 4, to wartość oczekiwana gry dla gracza byłaby ujemna i wynosiła
minus 1/6. Byłaby to kwota, jaką gracz traciłby na rzecz kasyna średnio na każdy jeden postawiony zakład (tj. ok.
16%). Jeżeli wartość jego zakładów byłaby stała i wynosiła np. 1 zł, to w każdej grze traciłby on ok. 16 groszy.
Natomiast jeżeli wyplata „k” wynosiłaby np. 6, to wartość oczekiwana tej gry byłaby dla niego dodatnia - co
oznaczałoby, że w każdej grze średnio zyskiwałby 16 groszy netto - czyli dążyłby do tego, aby rozegrać jak największą
ilość partii.
Wszechobecna matematyka
Spójrzmy teraz oczami matematyka na najpopularniejszą grę spotykaną w kasynach. Grą tą jest ruletka. Jak
żadna spośród innych, nie obrosła tyloma mitami i legendami oraz cudownymi systemami, które miały przynieść ich
właścicielom dużą, łatwą i szybką fortunę.
Ruletka Amerykańska
Tabela wypłat w ruletce.
Koło podzielone jest na 37 części.
Numeracja pól od 1 do 36 plus pole
cyfry zero. Kwoty wypłat podane są
w tabeli.
Gra polega na odpowiednim
obstawianiu stosownych pól, ich
kombinacji
Zakład
Wyplata
Jeden numer
35:1
Dwa numery
17:1
Trzy numery
11:1
Cztery numery
8:1
lub
całych
Sześć numerów
5:1
Kolumna
2:1
wyszczególnionych grup.
Pole zero gra na korzyść kasyna.
Jeżeli wypadnie to wszystkie zakłady
na inne numery, a także zakłady na
tuziny i kolumny przegrywają.
Pozostałe obstawienia na szansach:
numery duże i małe, kolory czerwone
i czarne, liczby parzyste i nieparzyste,
przegrywają połowę stawki.
Reguły ruletki uzależnione są od jej
ustalonych przez kasyno odmian, np.
niektóre posiadają podwójne pole
zero.
Tuzin
2:1
Małe numery
1:1
Duże numery
1:1
Parzyste
1:1
Nieparzyste
1:1
Czerwone
1:1
Czarne
1:1
2
X
+
W grze w Black Jacka udział bierze krupier (po stronie kasyna), który gra przeciwko graczom. Zasada i przebieg gry w
uproszczeniu odbywa się w następujący sposób.
Na początku gracze stawiają swoje zakłady. Krupier rozdaje karty (jednocześnie je odkrywając) każdemu z
uczestników po dwie, sobie tylko jedną. Zadaniem graczy jest dobór kart do wartości 21. Figury w kartach (króle,
damy, walety) maja wartość 10, pozostałe zgodnie z ich wartością liczbową. Wyjątkiem jest AS, który może w
zależności od kontekstu oznaczać 1 lub 11.
Gracz może dobierać dowolną ilość kart, jakkolwiek przekroczenie limitu 21 oczek powoduje jego natychmiastowa
porażkę i stratę całości obstawienia. Jeżeli zdecyduje się zatrzymać na jakiejś ilości oczek mniejszej od 21, karty
zaczyna dobierać sobie krupier. Zasadą jest, że dobierać (za każdym razem) musi on tylko do wartości 17. Jeżeli
posiada np. 18 lub więcej oczek musi na tym poprzestać. W przypadku, gdy krupier dobierając karty przekroczy limit
21, również natychmiastowo przegrywa.
Gracz wygrywa jeżeli jego ilość oczek jest bliższa wartości 21 niż krupiera. W takim przypadku wygrywa wartość netto
100% swojego zakładu. Możliwa jest także większa wypłata, jeżeli otrzyma on w pierwszych dwóch kartach tak
zwanego Black Jacka. Składa się on z asa i karty o wartości 10 (dowolna figura lub liczbowa dziesiątka). W takim
przypadku wyplata wynosi 150% netto wartości postawionego zakładu (przy założeniu, że krupier Black Jacka nie
posiada, bo wtedy jest sytuacja remisowa).
W grze w Black Jacka możliwe są różne warianty, takie jak rozbijanie par, podwajanie w ciemno, rozbijanie i
podwajanie, ubezpieczenie. Warianty te nie są omawiane ze względu na objętość artykułu. Ich różnorodność w
znacznym stopniu wzbogaca tą grę w dodatkowe interesujące możliwości strategiczne. Na ich podstawie konstruowane
są właśnie rozmaite systemy gry. Są one dość skomplikowane i zależą od ilości dostępnych talii kart w grze, jakkolwiek
przede wszystkim znaczenie ma w nich odpowiednio wyćwiczona pamięć.
Na początku gry, gdy zbiór talii kart liczy wiele sztuk, nie jest możliwe przewidzenie jakie karty pojawią się w
najbliższym rozdaniu. Jeżeli gra trwa i w talii zostaje ich coraz mniejsza ilość, to pamięć o tych kartach co już zeszły,
pomocna może być w przewidzeniu jakie jeszcze w niej zostały. Względem tego oceniając swój rozkład kart i karty
krupiera, gdy jest korzystny, gracz może zacząć grać podwyższonymi stawkami lub stosować podwojenia. Najprostsze
systemy proponują liczenie tylko kart dziesiątek, które zeszły i w zależności od tego podejmowanie stosownych rozbić i
podwojeń.
Gracz z dobrą pamięcią może zapamiętywać wszystkie schodzące karty, takie jak dziewiątki, ósemki itd. i względem
tego trafniej podejmować decyzje odnośnie obstawień i dobierania kolejnych kart w grze.
Należy wspomnieć również to, że może on grać na więcej niż jednym polu stosując różne wysokości obstawień. W
takim przypadku pola o minimalnych kwotach gry może przeznaczyć „na stratę”, ale dzięki nim mieć wpływ na
przewidywanie i rozkład stosownych kart wpływających na pole o dużej stawce zakładu. Widać stąd jaka istnieje
różnorodność wariantów gier, gdzie każdy zainteresowany (np. przy pomocy symulacji komputerowych) może sobie
wypracować własny znany tylko jemu skuteczny system.
Opis różnych wariantów Black Jacka jak i proponowanych względem nich systemów liczenia schodzących kart, a także
Załóżmy, że decydujemy się na najprostszy i najpopularniejszy sposób gry. Obstawiamy kolor czarny albo czerwony.
Prawdopodobieństwo ich wypadnięcia wynosi 18/37 - co jest bardzo bliskie 0,5. Stawiamy jeden żeton (załóżmy dla
uproszczenia, że wart jedną złotówkę) na określony kolor. Jeżeli trafimy zyskujemy jeden żeton, a jeżeli nie - tracimy
nasze obstawienie. Wartość oczekiwana naszej wygranej:
18
18
1
E
[
X
]
=
×
(
+
1
+
×
(
−
1
+
×
(
−
5
)
=
−
0135
37
37
37
Widzimy, że gra jest dla nas niekorzystna (E[X]<0). Nasza strata to ok. 1.35%. Stanowi ona wspomnianą wcześniej
przewagę kasyna.
Kasyno uzyskuje w grze przewagę poprzez wprowadzenie pola zero (prawdopodobieństwo jego wypadnięcia wynosi
1/37), które gra na jego korzyść. Jeżeli nie było by zera to E[X]=0 i mielibyśmy do czynienia z grą sprawiedliwą.
Jeżeli obstawialibyśmy tuziny lub kolumny to wartość oczekiwana naszej gry wynosiłaby:
3
0
.
0
.
E
[
X
]
=
12
×
(
+
)
+
24
×
(
−
1
+
1
×
(
−
1
=
−
0
027
37
37
37
W takim przypadku, na każdy postawiony zakład, tracimy średnio na rzecz kasyna, aż ok. 2,7% naszych pieniędzy.
Podobnie możemy wyliczyć pozostałe wartości oczekiwane uwzględniając tabelę wypłat. Zasada jest jednak taka -
tracimy zawsze, bo statystycznie rzecz ujmując stracić musimy.
Popatrzmy, jak próbowano „oszukać” kasyno i stworzyć system, który „zamieniłby” ujemną wartość oczekiwaną gry na
dodatnią.
System Martingale
Ktoś kiedyś wymyślił tak: postawię na kolor czerwony 1 żeton, jak wygram - to w porządku zyskałem jeden żeton
netto, a jak przegram to podwoję stawkę i postawie w następnej grze 2 żetony na ten sam kolor. Jeżeli wygram teraz - to
mam 2 żetony zysku minus 1 żeton straty w poprzedniej grze, czyli netto i tak jestem 1 żeton do przodu. Jakkolwiek,
jeżeli i w drugiej grze również nie dopisze mi szczęście, to w trzeciej grze znowu podwoję stawkę, czyli teraz postawię
na ten sam kolor 4 żetony. Gdy wygram teraz - to mój zysk 4 żetony minus 3 żetony straty w poprzednich grach -
zostaje na czysto 1 żeton.
Rozumowanie takie, można prowadzić w nieskończoność - grając i za każdym razem podwajając stawkę. „W
nieskończoność” raczej teoretycznie, gdyż w końcu jednak kolor czerwony wypadnie. Można wtedy zacząć nasze
rozumowanie od początku, rozpoczynając tym samym nowy ciąg takich samych gier-obstawień będąc z jednym
żetonem zysku netto w kieszeni.
W rozpatrywanym schemacie, w celu uproszczenia przyjęto, że wypadniecie zera jest sytuacją przegrywającą. Takie
założenie znacząco nic nie zmienia, więc możemy sobie na nie pozwolić (zresztą w niektórych odmianach ruletki tak
faktycznie jest).
Powyższe rozumowanie takiego „systemu gry”, wydaje się spójne logiczne. U podstaw jego leży ekonomiczno-
matematyczny termin tzw.
martyngał
. Sama zaś zasada takiego obstawiania w grze nosi nazwę
zasady Martingale
. Jej
wariacje - to systemy potrajania lub innej specyficznej modyfikacji kwoty początkowej stawki. Reguły i prawa nimi
rządzące są jednak identyczne do tych, jakie można wyprowadzić dla zasady Martingale.
Gra tą metodą jest tylko z pozoru korzystna. Proszę zwrócić uwagę jak szybko rośnie kwota obstawiania, którą
sukcesywnie podwajamy. Przy „złym losie” (a jak pokazują symulacje komputerowe nie jest to rzadki przypadek), nie
trafić pod rząd możemy nawet 10 razy - co powoduje rząd obstawienia 1024 żetony na kolejną jedenastą w cyklu grę
(przy dotychczas postawionej kwocie 1023 żetonów). Po prostu, może mam zabraknąć pieniędzy na następne
obstawienie !!!
Może się również zdarzyć, że nasza kwota, którą chcemy postawić przekroczy maksymalny limit stołu gry.
Maksymalny limit stawki na pojedynczy zakład - jest pewnego rodzaju zabezpieczeniem się kasyna, aby ktoś przy
„nieskończonej” kwocie pieniędzy - jednak nie miał opcji gry w „nieskończoność”. W przypadku osiągnięcia limitu,
można jednak ten problem obejść w sposób polegający na zamianie stołu gry (w trakcie trwania naszego cyklu
obstawień) na ten o wyższych limitach początkowym i końcowym. Rozpocząć należałoby wtedy podwajanie od
odpowiednio wyznaczonej kwoty, na którą dany stół zezwala. Oczywiście, żeby taka zmiana stołu gry była możliwa,
rozpoczynać należałoby na stole o najniższym dolnym limicie stawki na jeden zakład.
Gra tym systemem ciągle posiada ujemna wartość oczekiwaną gry dla gracza, wobec czego korzystna jest dla kasyna.
Interesujący jest jednak fakt, że systemy takiego obstawiania, oraz ich różne odmiany, cieszą się bardzo duża
popularnością. Wynika ona jednak nie z obliczeń matematycznych, które nie każdy umie przeprowadzić, ale pozornie
słusznego rozumowania dotyczącego zasad ich działania. Nie powinno wobec czego dziwić, że tego rodzaju systemy są
również promowane przez kasyna. Mamy z nimi do czynienia również w innych grach losowych. Promowane są one do
tego typu gier jak MultiLotek, także do zakładów bukmacherskich itp.
4
2
.
Przykładowa gra systemem Martingale
Rozważmy przykład statystycznego obywatela. Dysponuje on kwotą 2047 zł i zdecydował się kupić wymarzony
telewizor w cenie równo posiadanej kwoty. Przed dokonaniem transakcji postanowił zjeść obiad. Żeby nie
uszczuplać funduszy przeznaczonych na zakup, zdecydował się wstąpić do kasyna i grając systemem Martingale,
zarobić ok. 30 zł na posiłek. Aby mu się to udało - musiałby wygrać 30 cykli gry zasadą podwajania obstawień. Z
każdego cyklu zarobiłby netto jeden żeton (wart 1 zł) – razem 30 zł.
Jeżeli obstawia nieustannie kolor czerwony - to aby osiągnąć zysk 30 zł netto dysponując kwotą początkową 2047
zł - potrzebuje, aby w jego 30 cyklach gry ani razu pod rząd (w jednym cyklu) nie wypadł kolor czarny 11 razy.
Taki przypadek skończyłby się dla niego całkowitym bankructwem (jego 11 zakład posiadałby wartość 1024 zł
plus 1023 zł stracone w poprzednich 10 grach).
Bezpieczeństwo tej strategii gry wynosi ok. 98% i jest to wartość bardzo duża - ale proszę pamiętać, że istnieje
ok. 2% realnej szansy utraty wszystkich posiadanych pieniędzy. Przy możliwości zarobku 30 zł nie wszystkim
może wydawać się taka opcja rozsądna.
Wykres przedstawiający teoretyczne prawdopodobieństwo sukcesu oraz bankructwa metody Martingale
(podwajanie obstawień) w przypadku chęci osiągnięcia określonego zysku netto. Wraz ze wzrostem tego zysku
maleje prawdopodobieństwo jego osiągnięcia, a rośnie możliwość całkowitego bankructwa.
Granie w praktyce
Jeżeli już jednak ktoś postanowi stosować takie systemy (a sądzę, że niektórych czytelników może to
zainteresować) istnieje system najbardziej „optymalny”. Ma on sens tylko w przypadku gry giełdowej lub zakładów
sportowych (oprócz szczęścia decyduje również stosowna wiedza). W pozostałych przypadkach (gry hazardowe), jego
powodzenie zależy od naszego dodatkowego „systemu”, który sami sobie wypracujemy, obserwując reguły rządzące
konkretną grą, a raczej odchyleniami od niej. Przykładem takich zaobserwowanych odchyleń od „normy” jest choćby
fakt zużywania się łożysk koła do gry oraz szacowanie prędkości kuli rzucanej „mechanicznie” przez tego samego
krupiera. Na podstawie tego obstawiać można określone sektory koła (w ruletce obstawiać można, kiedy kulka krąży
już po kole).
O ile z pozoru mogłoby się to wydawać nierealne, autor książki [2] opisał taką metodę jako sposób, który właśnie
zapewnił mu zysk w tej grze. Z całkowicie innej perspektywy – pozycji krupiera autor pozycji [1], również zalecał taka
analizę. Zainteresowane szczegółami osoby więcej informacji znajdą we wspomnianych pozycjach.
Warto tutaj też jako ciekawostkę wspomnieć, że na początku zaistnienia w Polsce gry MultiLotek, kiedy kule oprócz
cyfr pokolorowane były różnymi barwami, jeden z kolorów wypadał statystycznie nieznacznie rzadziej niż pozostałe,
co zaowocowało ich stosownym „przebarwieniem”.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]